Certains systèmes dynamiques (systèmes qui décrivent dans l'espace un état qui évolue dans le temps) sont très sensibles aux petites variations de leur condition initiale. Ces variations peuvent rapidement prendre d'énormes proportions. Le mathématicien russe Alexander Lyapunov s'est penché sur ce phénomène et a développé une quantité permettant de mesurer la vitesse à laquelle ces petites variations peuvent s'amplifier. Cette quantité appelée "exposant de Lyapunov" mesure en fait le degré de sensibilité d'un système dynamique. Rappelons d'abord cette formule.

Comment Lyapunov a pu arriver à déduire une telle formule? Pour répondre à la question, considérons un système dynamique quelconque dont la condition initiale x0 est affectée d'une erreur infinitésimale E0. Après n itérations, l'erreur initiale E0 sera donc amplifiée d'un facteur  . Notons que l'erreur diminue lorsque le facteur est inférieur à 1 et augmente s'il est supérieur à 1.


Puisque , il suffit alors de calculer ce produit pour déterminer la façon dont s'amplifie l'erreur initiale.

Sachant que le logarithme d'un produit correspond à une somme de logarithmes, on aura

Avant de faire tendre cette dernière quantité vers l'infini, calculons d'abord la moyenne de la somme obtenue. On arrive ainsi à l'exposant de Lyapunov.

Ei et Ei-1 étant de très petites valeurs, le rapport    correspond à la dérivée de la fonction associée à l'équation utilisée si naturellement la fonction est dérivable. En effet soit f(xi) cette fonction.



Lorsque l'exposant de Lyapunov est positif,

> 0 et par conséquent > 1


L'erreur infinitésimale du début ira donc en augmentant. Le système sera dans ce cas sensible aux très petites variations de sa condition initiale,
une des caractéristiques des systèmes chaotiques. Si au contraire l'exposant de Lyapunov est négatif, l'erreur infinitésimale du début ira en diminuant. L'erreur initiale n'aura dans ce cas aucun effet à long terme.