Au début des années 60, Edward Lorenz un physicien spécialisé en météorologie au Massachusetts Institute of Technology (M.I.T.) travaillait sur un modèle mathématique dont le but était de prédire la température. Un jour, il voulut reproduire sur ordinateur une séquence de résultats obtenus quelques jours plus tôt. Les ordinateurs de l'époque étaient terriblement lents alors pour sauver du temps, il fit démarrer son programme au milieu de la séquence plutôt qu'au début. Il utilisa une des valeurs de son ancienne liste de résultats. Il s'attendait à retrouver les valeurs qu'il avait obtenues précédemment mais à sa grande surprise ce ne fut pas le cas. Lorsqu'il revint une heure plus tard, il constata que les nouveaux résultats s'éloignaient de plus en plus des résultats obtenus quelques jours auparavant. Rapidement il en découvrit la cause. La valeur de la séquence initiale était 0,5061127 et Lorenz avait fait commencer sa suite en tapant seulement les trois premiers chiffres 0,506. Les scientifiques de cette époque se considéraient chanceux lorsqu'ils pouvaient disposer d'une mesure exacte à trois décimales alors pour eux, une quatrième ou une cinquième décimale ne pouvait certainement pas avoir d'effets notoires sur les calculs. Lorenz prouva le contraire. Il découvrit qu'une infime variation sur les conditions initiales de certains systèmes dynamiques (systèmes qui décrivent dans l'espace un état qui évolue dans le temps) pouvait avoir des conséquences tout à fait imprévisibles sur leurs comportements (voir Le chaos).

Malgré un article publié en 1963 sur le sujet, il faudra attendre jusqu'en 1972 pour qu'on s'intéresse à la découverte de Lorenz. C'est à la suite d'une conférence qu'il donna intitulée «Un battement d'aile de papillon au Brésil peut-il déclencher une tornade au Texas?» que la théorie du chaos devint une sorte de mode. Retenons ici que la théorie du chaos touche divers domaines qui ont tous comme point en commun leur sensibilité aux conditions initiales. Même si de très grands noms tels Maxwell, Poincaré, Hadamard et Kolmogorov furent des précurseurs de la théorie du chaos, on attribue généralement ses origines à Edward Lorenz.

Lorsqu'il fit sa découverte, Lorenz travaillait sur un système constitué de douze équations. Il créa par la suite à l'aide des seules variables x, y et z, un modèle simplifié représentant un phénomène de convection dans une boîte chauffée par le bas, un peu comme les mouvements de l'air qui se produisent l'été lorsque le soleil chauffe fortement le sol et créent de petits nuages blancs appelés cumulus. Il définit son système à l'aide de seulement trois équations différentielles.

La valeur des constantes s, r et b dépend de la forme de la boîte et du chauffage. Pour s = 10, r = 28 et b = 8/3, on constate en utilisant Maple, que la solution du système précédent évoque la forme d'un papillon. Cette ressemblance y est peut-être pour quelque chose dans la naissance de «l'effet papillon».

with(DEtools):
lorenz :=
diff(x(t),t) = 10*(y(t)-x(t)),
diff(y(t),t) = 28*x(t)-y(t)-x(t)*z(t),
diff(z(t),t) = x(t)*y(t)-8/3*z(t);
DEplot3d({lorenz}, [x(t),y(t),z(t)], t=0..100, stepsize=0.01, [[x(0)=10, y(0)=10, z(0)=10]], orientation=[-35,75], linecolor = t, thickness = 1);

Toujours à l'aide de Maple, on peut aussi montrer que le système bien que réduit au minimum est lui aussi sensible aux conditions initiales. Examinons le comportement d'une des trois variables suite à une infime variation de la condition initiale du système. Considérons par exemple la variable x en prenant comme condition initiale xo=10, yo=10, zo=10 puis en prenant comme condition initiale xo=10, yo=10,01, zo=10 soit une légère variation de 0.01 sur la valeur de yo.

DEplot({lorenz}, [x(t), y(t), z(t)], t=0..15, stepsize = 0.01, [[x(0)=10, y(0)=10, z(0)=10],[x(0)=10, y(0)=10.01, z(0)=10]], scene = [t,x], linecolor = [blue,green], thickness = 1);

Comportement de la variable x en fonction du temps t
bleu : xo = 10, yo=10, zo=10
vert : xo = 10, yo=10,01, zo=10

On voit très bien que l'infime variation de 0,01 dans la condition initiale de yo n'influence pratiquement pas les valeurs de la variable x sur l'intervalle de temps [0,7] mais à partir de t=7 les valeurs de x n'ont plus rien en commun avec celles obtenues en prenant xo=10, yo=10, zo=10. On pourrait faire la même démonstration avec les variables y et z.

Voici une façon intéressante de voir directement sur le papillon de Lorenz l'effet de sensibilité aux conditions initiales. Cliquez avec la souris dans la fenêtre du bas. Vous verrez lentement apparaître le tracé à l'origine du fameux papillon de Lorenz. Cliquez à nouveau aussi près que possible de l'endroit où vous aurez cliqué la première fois. Vous verrez apparaître un second tracé qui suivra d'abord fidèlement le premier mais après un certain temps, vous noterez une légère différence entre les deux tracés. Cette différence ira en s'accentuant puis finalement, il n'y aura plus aucune similitude possible entre les deux tracés. Cet effet illustre le concept de la «dépendance sensitive aux conditions initiales de certains systèmes» rendant chaotique la prédiction de leurs comportements.


Utilisé avec la permission de James P. Crutchfield.
Copyright 1996. Tout droit réservé.

Le papillon de Lorenz possède une autre caractéristique importante. Quelles que soient les valeurs initiales choisies, on obtient toujours comme représentation graphique un objet géométrique dont la forme ressemble à un papillon. Le tracé obtenu dépend entièrement du choix de xo, yo et zo. Deux conditions initiales différentes même très rapprochées produiront deux tracés totalement différents. Même si les trajectoires issues de (xo,yo,zo) sont différentes, ils composent toujours le même dessin, le papillon de Lorenz. Une structure qui possède cette propriété s'appelle un attracteur étrange. Le papillon de Lorenz est un attracteur étrange.

Les découvertes d'Edward Lorenz ont eu de fortes influences dans plusieurs domaines scientifiques. En météorologie, ils ont conduit à la conclusion qu'il est impossible de prévoir raisonnablement la température au delà de deux à trois semaines.