«L'ordre est une conséquence du désordre.»



Une des découvertes les plus spectaculaires des dernières années a été celle des attracteurs étranges, ces objets géométriques issus de l'évolution de systèmes chaotiques. Dans le plan, ils sont formés d'une suite infinie de points

x0, x1, x2, x3 ... , xn , ...

qui dépendent de xo la valeur initiale. Au fur et à mesure que le nombre de points augmente, une image se forme dans le plan et devient de plus en plus nette. Cette image n'est pas une courbe ni une surface, c'est en fait un objet intermédiaire constitué de points avec entre eux des espaces inoccupés. L'objet est qualifié d'étrange en raison de sa structure pointilliste et de sa nature fractale. Une valeur différente de xo conduit à une toute autre suite qui après une courte phase, dessine la même image. D'où qu'on parte, on se retrouve toujours sur l'attracteur, c'est le côté prévisible de l'évolution. Où se retrouve-t-on exactement sur l'attracteur? Il est impossible de répondre à la question, c'est le côté imprévisible de l'évolution. À la suite de la découverte d'Edward Lorenz en 1963 de son fameux attracteur à l'allure d'un papillon plusieurs recherches principalement en physique ont permis d'améliorer nos connaissances sur les attracteurs étranges.

L'attracteur étrange de Hénon

L'attracteur chaotique de Hénon du nom de l'astronome français Michel Hénon a été présenté pour la première fois en 1976 et est basé sur les équations

C'est l'un des plus simples et des plus connus dans le monde. Pour visualiser le mouvement des étoiles, l'astronome a fait appel à une méthode de Poincaré un des précurseurs de la théorie du chaos. Hénon découvrit que l'attracteur étrange des orbites stellaires est de la forme d'une banane.



Les 100 premiers points de l'attracteur


Les 1000 premiers points de l'attracteur


Les 30000 premiers points de l'attracteur

Lorsqu'on examine de plus près un de ses segments, on retrouve une autre orbite de la forme d'une banane. L'agrandissement de cet attracteur montre un dédoublement des lignes d'une nature fractale. Pour s'en convaincre effectuons un agrandissement de la minuscule région du premier quadrant entre 0,2 et 0,202 sur l'axe des x et entre 0,246 et 0,248 sur l'axe des y.

On remarque que dans cette région, l'attracteur se dédouble en plusieurs segments. Ce dédoublement est sans fin. C'est d'ailleurs à cause de cette structure particulièrement feuilletée que l'attracteur est qualifié d'étrange.

Depuis, on a vu apparaître de nombreuses représentations dont celles produites par Clifford A. Pickover basées sur les équations suivantes:

.

Les attracteurs ci-dessous ont été obtenus en utilisant les équations précédentes et le logiciel Chaoscope (Windows). Les images 3D obtenues à partir de ce logiciel sont parfois spectaculaires.

A=2.514, B=2.488, C=-1.451, D=2.87
A=-2.008, B=1.632, C=0.36, D=1.67
A=0.754, B=2.571, C=-0.943, D=1.834
A=0.754, B=1.163, C=-1.071, D=1.87

En modifiant quelque peu ces équations on arrive à créer différentes gammes d'images toutes plus originales les unes que les autres.

Les trois attracteurs du bas ont été obtenus en utilisant les équations précédentes et une procédure du logiciel Maple.

A = -2.6
B = -1.1
C = 2.6
D = .5
A = 2.74
B = 1.19
C = 1.6
D = .99
A = 2.95
B = 7.23
C = 9.17
D = -.37

L'exploration de ce type d'attracteur peut aussi être faite à l'aide d'une application Maple. L'utilisateur pourra lui-même définir le système d'équations et y placer les valeurs des constantes de son choix.

Pour l'utiliser, il vous faudra le logiciel Maple 9.5 ou un version plus récente sous Windows.



Application Maple ( maplet , mws )

Les attracteurs de Gumowski-Mira

En 1980, deux physiciens I. Gumowski et C. Mira, du centre de recherche CERN de Genève en Suisse utilisèrent le système d'équations

pour simuler la trajectoire de particules se déplaçant à très haute vitesse dans un accélérateur de particules de la forme d'une mince boîte cylindrique de plusieurs mètres de long. Ils donnèrent à la constante A une valeur entre -1 et 1, à la constante B (beaucoup plus sensible) une valeur très près ou égale à 1 sans toutefois dépasser cette valeur et à xo et yo des valeurs entre -20 et 20. Ils découvrirent à leur grande surprise que les trajectoires issues de ce système et portées sur un plan cartésien produisent des images (pdf) surprenantes nous rappelant certaines formes de vie marine.

Voici quelques spécimens d'images obtenues à l'aide du logiciel Maple en utilisant une procédure de quelques lignes seulement, basées sur le système d'équations développé par le duo Gumowski-Mira.

A = -.31
B = 1
xo = 3
yo = 1

A = -.6
B = .99
xo = .09
yo = -2.76

A = 0.31
B = 1
xo = 3
yo = 1

A =-.23
B = 1
xo = 0.8
yo = 0.4
A = -.05
B = 1
xo = 15
yo = 0

A = -0.77
B = 0.95
xo = 3
yo = 1

L'exploration des attracteurs basés sur le modèle de Gumowski-Mira peut se faire plus aisément en utilisant l'application de droite. L'utilisateur pourra changer la fonction utilisée par le célèbre duo et y placer les valeurs des constantes de son choix.

Pour l'utiliser, il vous faudra le logiciel Maple 9.5 ou un version plus récente sous Windows.



Application Maple ( maplet , mws )

Programme I  (l'attracteur de Hénon )

Valeurs:= proc(Table,n,xo,yo,a,b)
local i, x, y, xp;
x := xo;
y := yo;
for i to 200 do
xp := 1+y-a*x^2;
y := b*x;
x := xp;
od;
for i to n do
xp := 1+y-a*x^2;
y := b*x;
x := xp;
Table[i,1]:= x; Table[i,2]:= y;
od;
end:

xo:=0;
yo:=0;
a:=1.4;
b:=0.3;
n:=30000;


Table:= array(1..n,1..2):
evalhf(Valeurs(var(Table),n,xo,yo,a,b)):
plots[pointplot](Table, symbol=CROSS, symbolsize=1);

Programme II  (les attracteurs de Clifford A. Pickover)

Valeurs:= proc(Table,a,b,c,d,n)
local i, x, y, z, xp, yp;
print(`Pour changer l'angle de vue, cliquez sur le graphique tout en faisant glisser la souris.`);
x:= 1;
y:= 1;
z:= 1;
to 200 do
xp :=a*cos(d*sin(a*y))-c*sin(b*x);
yp :=b*sin(c*cos(b*x))-d*cos(a*y);
z := x+y;
x:=xp;
y:=yp;
od;
for i from 1 to n do
xp :=a*cos(d*sin(a*y))-c*sin(b*x);
yp :=b*sin(c*cos(b*x))-d*cos(a*y);
z := x+y;
x:=xp;
y:=yp;
Table[i,1]:= x; Table[i,2]:= y; Table[i,3]:= z;
od;
end:

a:=-2.6;
b:= -1.1;
c:= 2.6;
d:= .5;
n:=30000;


Table:= array(1..n,1..3):
evalhf(Valeurs(var(Table),a,b,c,d,n)):
plots[pointplot3d](Table, color=BLACK, axes=NONE, symbol=CROSS, symbolsize=1);

    Programme III  (les courbes de Gumowski-Mira)

    Valeurs:= proc(Table,xo,yo,a,b,n)
    local i, x, y, xp;
    x:= xo;
    y:= yo;
    for i to 200 do
    xp := b*y+a*x+2*(1-a)*x^2/(1+x^2);
    y := -x+a*xp+2*(1-a)*xp^2/(1+xp^2);
    x := xp;
    od;
    for i to n do
    xp := b*y+a*x+2*(1-a)*x^2/(1+x^2);
    y := -x+a*xp+2*(1-a)*xp^2/(1+xp^2);
    x := xp;
    Table[i,1]:= x; Table[i,2]:= y;
    od;
    end:

    xo:=4;
    yo:=0;
    a:= -0.48;
    b:= 0.93;
    n:=30000;


    Table:= array(1..n,1..2):
    evalhf(Valeurs(var(Table),xo,yo,a,b,n)):
    plots[pointplot](Table,axes=NONE, symbol=CROSS, symbolsize=1);